এই অভিজ্ঞতায় শিখতে পারবে-

• ত্রিকোণমিতিক কোণের ধারণা, প্রয়োজনীয়তা এবং পরিমাপের কৌশল
• জ্যামিতিক কোণ ও ত্রিকোণমিতিক কোণের পার্থক্য
• ত্রিকোণমিতিক কোণের আদর্শ অবস্থান এবং তার সাপেক্ষে কোণের পরিমাপ
• কোটার্মিনাল কোণ, কোয়াড্রেন্ট কোণ ও কোয়াড্রেন্টাল কোণের ধারণা ও পরিমাপ
• আদর্শ অবস্থানে ত্রিকোণমিতিক অনুপাত
• বিভিন্ন কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাতের আন্তঃসম্পর্ক
• ত্রিকোণমিতি ও স্থানাঙ্ক জ্যামিতির আন্তঃসম্পর্ক
• কোণ-এর রেডিয়ান পরিমাপ এবং ডিগ্রী ও রেডিয়ানের সম্পর্ক

কৌণিক দূরত্ব পরিমাপে ত্রিকোণমিতি

জোড়ায় কাজ

জোড়ায় চিন্তা করে নিচের ছকে তিনটি উদাহারণ লেখো যেখানে কৌণিক দূরত্ব ব্যবহৃত হয়।

কৌণিক দূরত্ব পরিমাপ করার জন্য আমরা ত্রিকোণমিতির জ্ঞানকে কাজে লাগাই। নিচে ধারাবাহিকভাবে এবিষয়ে বিস্তারিত আলোচনা করা হয়েছে।

১. ত্রিকোণমিতিক কোণের পরিমাপ (Measurement of trigonometric angle)

জোড়ায় কাজ

১.১ ধনাত্মক ও ঋণাত্মক কোণ

জোড়ায় কাজ

জ্যামিতিক রুলার এবং চাঁদা ব্যবহার করে নিচের খালি জায়গায় 200° এবং 230° কোণ আঁক।

২. জ্যামিতিক ও ত্রিকোণমিতিক কোণ

একক কাজ

নিচের খালি জায়গায় 120° এর একটি জ্যামিতিক কোণ আঁকো। একই পরিমাপের একটি ধণাত্মক ও একটি ঋণাত্মক ত্রিকোণমিতিক কোণ আঁকো।

৩. ত্রিকোণমিতিক কোণের আদর্শ অবস্থান (Standard position of trigonometric angle)

জোড়ায় কাজ:

নিচের কোন কোণগুলো আদর্শ অবস্থানে আছে? যেগুলো আদর্শ অবস্থানে নাই সেগুলোর কারণ ব্যাখ্যা করো এবং নিচের খালি ঘরে লেখো।

৪ আদর্শ অবস্থানে বিভিন্ন চতুর্ভাগে ত্রিকোণমিতিক কোণ

৫. কোণের আদর্শ অবস্থানে ত্রিকোণমিতিক অনুপাত

৬. কোয়াড্রেন্টাল কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত

দলগত কাজ/প্রজেক্ট

শিক্ষকের নির্দেশমতো কয়েকটি (কমপক্ষে চারটি বা চারের গুণিতক সংখ্যক) দলে বিভক্ত হবে। প্রত্যেক দল একটি করে গ্রাফপেপার নিবে। গ্রাফপেপারে x-অক্ষ এবং y-অক্ষ আঁকবে এবং মূলবিন্দু নির্ধারণ করবে। প্রত্যেক দল প্রতিটি অক্ষের ধনাত্মক এবং ঋণাত্মক দিকের উপর একটি করে বিন্দু নিবে এবং বিন্দুগুলোকে A, B, C, D দ্বারা নির্দেশ করবে। শিক্ষক খেয়াল রাখবেন যেন প্রত্যেক দলের নেওয়া বিন্দগুলো ভিন্ন ভিন্ন হয়। প্রত্যেক দল একটি করে পোস্টারপেপার নিয়ে তার উপরের দিকে একপাশে গ্রাফপেপারটি গাম দিয়ে লাগিয়ে দিবে। এবার পোস্টারপেপারে নিচের প্রশ্নগুলোর উত্তর লিখবে।

• x-অক্ষের ধনাত্মক দিকের উপর বিন্দু A এর স্থানাঙ্ক:
• y-অক্ষের ধনাত্মক দিকের উপর বিন্দু B এর স্থানাঙ্ক:
• x-অক্ষের ঋণাত্মক দিকের উপর বিন্দু C এর স্থানাঙ্ক:
• y-অক্ষের ঋণাত্মক দিকের উপর বিন্দু D এর স্থানাঙ্ক:
• আদর্শ অবস্থানে প্রান্তিক রশ্মি OA এর ধনাত্মক কোণ:
• আদর্শ অবস্থানে প্রান্তিক রশ্মি OB এর ধনাত্মক কোণ:
• আদর্শ অবস্থানে প্রান্তিক রশ্মি OC এর ধনাত্মক কোণ:
• আদর্শ অবস্থানে প্রান্তিক রশ্মি OD এর ধনাত্মক কোণ:
• এখন প্রত্যেক দল তাদের নেওয়া বিন্দগুলোর সাপেক্ষে প্রত্যেক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত বের করে নিচের ছকটি পূরণ করবে।

ভিন্ন ভিন্ন দলের ভিন্ন ভিন্ন বিন্দু হওযার পরেও উপরের ছকের প্রত্যেক ঘরের মান একই হয়েছে!

• উপরের ছকের প্রত্যেক ঘরের মানগুলো একই হওয়ার কারণ কী? প্রত্যেকে যুক্তি দিয়ে চিন্তা করো এবং তোমার দলের সকল সদস্যের সাথে আলোচনা করে একটি সিদ্ধান্তে পৌঁছাও। তোমাদের সিদ্ধান্তটি পোস্টার পেপারে লিখে উপস্থাপন করো।

এবার শিক্ষকের নির্দেশনা মোতাবেক কোনো একদিনে তোমাদের প্রজেক্টটি সকলের সামনে উপস্থাপন করো।

৭. কোয়াড্রেন্ট কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত

আদর্শ অবস্থানে কোয়াড্রেন্ট কোণের প্রান্তিক রশ্মি যে কোনো চতুর্ভাগে অবস্থান করে। সুতরাং আমরা বিভিন্ন চতুর্থাংশের বিন্দুর সাপেক্ষে কোয়াড্রেন্ট কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত বের করতে পারি।

উদাহরণ: x-অক্ষের ধনাত্বক দিকের সাথে P(1, 1) বিন্দুর সাপেক্ষে আদর্শ অবস্থানে ত্রিকোণমিতিক অনুপাত বের করো।

জোড়ায় কাজ

৮. বিভিন্ন চতুর্ভাগে ত্রিকোণমিতিক অনুপাতসমূহের চিহ্ন

xy-সমতলে আদর্শ অবস্থানে কোণ = XOA এর ঘূর্ণায়মান রশ্মি OA ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে ঘূর্ণনের ফলে প্রান্তিক অবস্থানের উপর নির্ভর করে আদি রশ্মি OX এর সাথে বিভিন্ন পরিমাপের কোণ উৎপন্ন করে। OA এর উপর যে কোনো বিন্দু P(x, y) নিলে বিভিন্ন চতুর্ভাগে অবস্থানের কারণে P বিন্দুর স্থানাঙ্কের অর্থাৎ x ও y এর চিহ্নের পরিবর্তন হবে। তবে দূরত্ব বিবেচনায় OP = সবসময় ধনাত্মক হবে। এই ধারণা ব্যবহার করে আমরা বিভিন্ন চতুর্ভাগে ত্রিকোণমিতিক অনুপাতগুলোর মান বের করতে পারবো।

চলো এবার নিচের ছকের ফাঁকা স্থান পূরণ করি। কয়েকটি করে দেয়া আছে। বাকিগুলো তোমরা লেখো।

৯. কোণের পার্থক্য অনুসারে ত্রিকোণমিতিক অনুপাতের আন্তঃসম্পর্ক

স্থানাঙ্ক জ্যামিতির বিভিন্ন চতুর্ভাগে অবস্থান থেকে আমরা ত্রিকোণমিতিক অনুপাতের আন্তঃসম্পর্ক নির্ণয় করতে পারি।

৯.১ পূরক কোণের মাধ্যমে

এখন উপরের সম্পর্কগুলো পর্যবেক্ষণ করে তোমরা নিচের সারণিটি পূরণ করো। এখানে দুইটি করে দেওয়া আছে।

৯.২ আদর্শ কোণের প্রান্তিক রশ্মির অবস্থান দ্বিতীয় চতুর্ভাগে

উপরের সম্পর্কগুলো ব্যবহার করে আমরা দ্বিতীয় চতুর্ভাগের কিছু কোণের মান খুব সহজেই বের করতে পারব।

একক কাজ:

sin120° ও tan135° এর মান নির্ণয় করো।

৯.৩ আদর্শ কোণের প্রন্তিক রশ্মির অবস্থান তৃতীয় চতুর্ভাগে

জোড়ায় কাজ

১. পাশের চিত্রকে পর্যবেক্ষণ করে নিচের সম্পর্কগুলো প্রমাণ করো।

২. পাশের চিত্রকে পর্যবেক্ষণ করে নিচের সম্পর্কগুলো প্রমাণ করো।

সূত্রগুলো ব্যবহার করে আমরা তৃতীয় চতুর্ভাগের কয়েকটি কোণের মান খুব সহজেই বের করতে পারব।

৯.৪ আদর্শ কোণের প্রান্তিক রশ্মির অবস্থান চতুর্থ চতুর্ভাগে

জোড়ায় কাজ

একক কাজ:

১০. ত্রিকোণমিতি ও স্থানাঙ্ক জ্যামিতির আন্তঃসম্পর্ক

১০.১ রেফারেন্স কোণ

ধরি, θ = ∠XOA আদর্শ অবস্থানে একটি ত্রিকোণমিতিক কোণ। OA রশ্মি x-অক্ষের সাথে যে সূক্ষ্মকোণ তৈরি করে তাকে θ এর রেফারেন্স কোণ (reference angle) বলে। θ এর রেফারেন্স কোণকে ' দ্বারা নির্দেশ করা হয়।

নিচে P বিন্দুর জন্য দ্বিতীয় এবং তৃতীয় চতুর্থাংশে কোণের রেফারেন্স কোণ ৪' দেখানো হয়েছে।

জোড়ায় কাজ

30°, 150°, 280°, 300°, 400° এবং 240° এর রেফারেন্স কোণ নির্ণয় করো।

১০.২ P(x, y) কে P(1; 8) এর মাধ্যমে প্রকাশ

এবার বলো তো, x ও y এর সাথে। এবং এর সম্পর্ক কী? মনে করে দেখো, পিথাগোরাসের সূত্র ব্যবহার করে আমরা লিখতে পারি,

জোড়ায় কাজ

P(√2, 150°) বিন্দুকে P(x, y) এর মাধ্যমে প্রকাশ করো।

১১. ত্রিকোণমিতিক কোণ-এর রেডিয়ান পরিমাপ

১১.১ বৃত্তচাপের সাথে রেডিয়ান কোণের সম্পর্ক

যদি r ব্যাসার্ধবিশিষ্ট একটি বৃত্তের চাপ s, বৃত্তের কেন্দ্রে রেডিয়ান কোণ উৎপন্ন করে, তাহলে

$\theta =\frac{s}{r}$

অর্থাৎ, s = $r\theta$

১১.২ ডিগ্রি এবং রেডিয়ান-এর সম্পর্ক

আমরা জানি, ব্যাসার্ধবিশিষ্ট একটি বৃত্তের পরিধির উপরের কোনো একটি বিন্দু একটি পূর্ণ ঘূর্ণন সম্পন্ন করলে কৌণিক দূরত্ব হবে 360° এবং ওই বিন্দুর অতিক্রান্ত দূরত্ব হবে পরিধির সমান, অর্থাৎ 2r. সুতরাং, চাপের সাথে কোণের সম্পর্ক হতে আমরা পাই,

জোড়ায় কাজ: